Numeri razionali

Cos'è un numero razionale? Definizione

Di solito semplifichiamo la definizione di numeri razionali dicendo che la loro rappresentazione è un quoziente di un totale di due interi. Questo si riferisce a un frazione comune in cui sia il denominatore che il numeratore non sono nulli.

Un numero n è razionale se può essere espresso nella forma a / b essere a y b interi e b ≠ 0.

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Questi numeri sono detti razionali perché i numeri inclusi si riferiscono sempre a parte di un intero o di una frazione. I numeri razionali sono collegati in modo diretto con i numeri interi, con i quali condivide un insieme di numeri. Allo stesso modo, è considerato come un sottoinsieme della categoria dei numeri reali.

Differenza tra un numero razionale e un numero irrazionale

Il i numeri irrazionali non possono essere espressi come frazione di due interi. Per esempio:

I Numeri Interi Relativi

Operazioni con i numeri razionali

Con l'uso dei numeri razionali abbiamo la possibilità di aggiungere, sottrarre, dividere e moltiplicare:

1. Addizione con razionali

Le aggiunte possono essere eseguite sia quando si usa lo stesso denominatore come quando è diverso. Nel primo caso faremo la somma dei numeratori. Poiché il denominatore è lo stesso, quello che faremo è lasciarlo così com'è. In questi casi praticamente il denominatore non cambia mai e l'unica cosa che facciamo con i numeratori è sommarli nel modo tradizionale.

Il Numero Uno

Se la somma è con un denominatore diverso dovremo prima ottenere il minimo comune multiplo di questi valori di denominatore che non coincidono. Dopo di che dovremo moltiplicarli con l'inclusione del numeratore corrispondente.

2/2 + 4/2 = 6/2 = 3

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2/2 + 6/3 = 3/3 + 6/3 = 9/3 = 3

2. Sottrazioni con razionali

Un altro modo d'indicare le sottrazioni di numeri razionali è come operazione inversa dell'addizione. Quello che faremo in questo caso sarà ottenere la sottrazione sommando il minimo dell'operazione con il valore opposto del sottraendo determinato nella sottrazione.

Numeri reali

A livello globale, se il denominatore è lo stesso seguiremo l'esempio dell'operazione di addizione, lasciando il denominatore com'era e sottraendo i due valori del numeratore.

Lo stesso vale per il caso in cui il denominatore è diverso poiché dovremo trovare il denominatore comune (eseguendo l'operazione del minimo comune multiplo dei diversi denominatori coinvolti) e dividerlo per i denominatori utilizzando il risultato per moltiplicarlo per il numeratore.

3. Moltiplicazioni con razionali

Le operazioni di moltiplicazione implicano che otterremo sempre un risultato come numero razionale in cui i suoi valori di denominatore e numeratore saranno basati sui prodotti dei fattori. Per semplicità semplifichiamo tutti i numeratori e denominatori.

4. Divisioni con razionali

Quando abbiamo bisogno di dividere numeri razionali, quello che faremo è eseguire la moltiplicazione del dividendo con il valore inverso della cifra del divisore, cioè, moltiplicare trasversalmente.

La semplificazione è incoraggiata ovunque sia necessario e non deve perdere mai di vista i segni. In corto, quello che faremo è moltiplicare la prima delle frazioni per la seconda delle stesse, ma con il suo valore invertito.

Quali sono le proprietà dei numeri razionali?

Possiamo dividere le proprietà che hanno i numeri razionali in tre tipi: congiuntive, algebriche e topologiche

1. Proprietà congiuntive

Va notato che l'insieme rappresentato dai numeri reali non è numerabile. Ma a differenza di questo, l'insieme formato dai numeri razionali è numerabile.

2. Proprietà algebriche

L'uso dei numeri razionali in algebra avviene perché questo insieme ha il proprietà associative, commutative e distributive attraverso le diverse operazioni che possiamo fare con loro.

Oltre a questo, i numeri razionali ha elementi neutri che vengono utilizzati quando si fa l'addizione e si ottiene il prodotto. Nelle operazioni di addizione si utilizza lo zero, mentre per ottenere il prodotto si utilizza l'1. Hanno anche proprietà simmetriche in questo tipo di operazioni, facendo uso dell'elemento opposto e dell'inverso moltiplicativo.

Bisogna tener presente che i numeri razionali rappresentano il minore dei corpi che hanno caratteristiche nulle. Ciò significa che tutti gli altri corpi che hanno questa caratteristica hanno al loro interno una versione dell'insieme dei numeri razionali Q.

E infine, tutti i numeri razionali (a eccezione di zero) può essere decomposto nello stesso modo.

3. Proprietà topologiche

Queste proprietà si basano sul fatto che l'insieme rappresentato da Q dà forma anche a un sottoinsieme dei numeri reali. Questo vuol dire che ogni numero reale ha numeri razionali a corta distanza.

D'altra parte, i numeri razionali sono a frazione regolare continua che si estende all'infinito. La naturalezza di questi numeri è rappresentata come uno spazio che non è di forma compatta ed è anche uno spazio numerabile e metrizzabile, discontinuo e con assenza di punti isolati.

Storia dei numeri razionali

Come forse sapete, i numeri non esistono dall'inizio dell'umanità, ma si sono sviluppati nel corso dei secoli. Nel caso dei numeri razionali, il loro uso risale alla società egiziana. La leggenda ha avuto origine da un papiro che scriveva Ahmes nell'anno 1900 a.C parla di come nei momenti di bisogno dovevano effettuare un'equa distribuzione tra i cittadini del pane che avevano ogni giorno. Il inconveniente iniziale era che c'erano troppe persone, ma non abbastanza pane.

Questo significava che ogni giorno c'erano persone che non ricevevano una pagnotta di pane. Ed era difficile fare in modo che coloro che non l'avevano avuto il giorno prima lo ricevessero il giorno dopo. Di fronte a questa situazione, gli egiziani fecero uso delle frazioni per poter organizzare il pane in pezzi più piccoli da distribuire equamente. Hanno usato frazioni di 1 su n (numero naturale) e hanno scoperto che avevano ancora problemi, perché avevano bisogno di usare altri numeratori per il lavoro per dare loro un buon risultato. Per togliersi dai guai, quello che iniziarono a usare fu la frazione egiziana, che permetteva loro di fare operazioni con frazioni diverse.

Il Papiro di Ahmes e la Frazione Egiziana

Con il passare del tempo gli indù hanno definito la forma delle frazioni, come è conosciuto oggi, e gli arabi hanno messo la linea orizzontale, che più tardi sbarcò in Europa grazie al matematico Leonardo Fibonacci.